Continuando con la entrada anterior donde se abordo un efoque meramente practico y orientado al comercio voy a ampliar la información sobre Fibonacci y la modernidad:
Este proceso evolutivo del comercio llevo tambien a la creación de instrumenos comerciales nuevos, como la letra de cambio y al nacimiento de las primeras instituciones bancarias. Era necesario convertir unidades de medida distintas de un pais a otro e incluso de una ciudad a otra, hacer cambios de moneda, y calcular las tasas y arenceles que debian ser pagados en cada plaza por cada operación de transporte y de importación o exportación de mercancias. Estas necesidades en un principio se cubrieron en las escuelas eclesiasticas que dependian de los capitulos catedraticos de las distintas ciudades. Alli se aprendia a leer y escribir en latin y algunas nociones elementales de aritmetica, pero la complejidad y la cantidad de las operaciones necesarias para las transacciones comerciales habituales hacian esta formación insuficiente.
El abaco y los numerales romanos eran inadecuados para llevar los libros de contabilidad y para efectuar las multiplicaciones y divisiones, tan necesarias en este tipo de transacciones.
En este contexto aparece la figura de Leonardo de Pisa (Fibonacci), gracias a su obra Liber abaci (El libro del abaco).
Por ejemplo en el Liber abacci se tiene el siguiente enunciado:
Tenemos un pez que pesa 60 libras, la cabeza pesa 3/5 del peso del cuerpo y la cola pesa 1/3 de la cabeza. Pregunto ¿cuanto pesara el cuerpo?
El planteamiento que menajaban entonces es el siguiente:
Haras esto: di que cuerpo del pescado pese 30 libras, los 3/5 de 30 hacen 18, que seria el peso de la cabeza. La cola pesa 1/3 de la cabeza, esto es 6. Pon todo esto junto y obtendras 54; pero tu querias que fueran 60, que menos 6 es lo que has obtenido; por tanto, poniendo 30 obtuve 6 menos. Toma una nueva posicion: toma ahora que el pez pesase 25, la cabeza pesaria los 3/5, que hacen 15 y la cola, que es un tercio de la cabeza, seria un tercio de 15 que es 5. Suma juntos 25,15, y 5 hacen 45; pero tu querias 60, obtienes 15 menos; poniendo 25 obtuve 15 menos.
Es decir, hace dos estimaciones del peso del pez, ambas erroneas y mira a cuanto asciende en cada caso el error. A partir de estos dos valores erroneos prosigue con el siguiente razonamiento para encontrar la solución:
Ahora multiplica 15 por 30, hacen 450, luego 6 por 25, que hacen 150; resta esto ultimo de 450, te quedara 300. Resta 6 de 15, quedan 9, que es el divisor. Divide 300 por 9 y resultan 33+1/3. Los 3/5 de 33+1/3 son 20, y un tercio de 20 son 6+2/3. Por tanto el cuerpo del pez pesara 33+1/3, la cabeza 20 y la cola 6+2/3. Sumados hacen 60, que es lo que dije que pesaba el pez.
Este metodo es llamado regla de la falsa posicion que junto con la regla de tres, la regla de las aceleraciones y la de las compañias, formaban parte de las enseñanzas de aritmetica elemental de esa epoca.
Si ahora lo hacemos utilizando algebra basica (moderna) obtendriamos el siguiente sistema:
Lo que queremos encontrar es el peso al cual lo pondremos como x
Sabemos que el pez pesa 60 libras, la cabeza pesa 3/5 de x y la cola pesa 1/3 de la cabeza entonces el peso del pez es el siguiente:
cabeza = 3*x/5
cola = 1/3*cabeza = (3x/5)(1/3) = (3x/15)
x + cabeza + cola = 60
x+3x/5+3x/15 = 60
x+x((3(15)+15)/15(5)) = 60
x+x(4/5) = 60
x(1+4/5) = 60
x(9/5) = 60
x = 300/9 = 100/3
Comprobación:
peso = 100/3
cabeza = 100/5 = 20
cola = 100/15 = 20/3
100/3 + 20 /3 + 20 = 40 + 20 = 60
Por lo tanto el peso del pez es de 100/3 libras, tal como lo sugeria el libro, pero lo importante aqui es que gracias a la introduccion del metodo indo-arabigo podemos manejar en la actulidad este tipo de problemas basado en signos y sistemas posicionales, de no ser asi como pudimos ver el problema no resultaria tan facil de solucionar.
Las escuelas de ábaco:
El liber abaci se difundio exitosamente por la Toscana y el norte de Italia, donde comenzaron a surgir escuelas llamadas escuelas de ábaco, que usaban el Liber abacci como texto, al menos en sus partes más elementales, puede hacernos pensar que en ellas se enseñaba el manejo del abaco, sin embargo, nada mas lejos de la realidad, de echo en este tipo de escuela se enseñaba a hacer cuentas prescindiendo presisamente del uso del abaco, en su lugar se usaban los numeros indoárabigos y las operaciones usando los algoritmos árabes, basados en el empleo de papel y pluma.
La tarea fundamental de estas escuelas era la formación de los empleados comerciales. A ellas acudían tambien artesanos, arquitectos, pintores, cartografos y en general todos aquellos que necesitaban una formación matematica.
Alberto Durero y la geometria:
Alberto Durero (1471 - 1528), es un personaje del renacimiento, es un ejemplo paradigmatico del humanista integral, que no separa las ciencias de la naturaleza y las matematicas, de las letras y las artes plasticas.
Su obra en el campo de las matematicas Uderweysung der messung (Instrucciones para la medida, 1525), estudia curvas nuevas no conocidas por los clasicos. Aborda tambien multitud de construcciones geometricas algunas usando un procedimiento exacto y otras mediante mecanismos aproximados.
Por ejemplo, para la construcción del pentagono, el decagono y el heptagono regular propone el siguiente metodo:
Se debe inscribir ahora un pentagono en una circunferencia. Procede como sigue. Describe una circunferencia de centro a, traza una linea horizontal y designa a los dos puntos de intersección con la circunferencia como b y c. A continuación, alza en a una linea vertical que forma con la horizontal angulos iguales . Designa por d su punto de intersección con la circunferencia. Traza luego una linea recta ed y toma el compas . Apoya una punta en e, la otra en d, despues traza un arco que cortara a la linea horizontal bc en un punto que llamaremos f. Junta f y d mediante un segmento, este sera un lado del pentagono que tiene los vertices en la circunferencia; fa sera entonces el lado de un decagono. A continuación divide ac por un punto e en dos partes iguales. Si elevas una linea vertical en e y la prolongas hasta cortar la circunferencia, tu habras obtenido de manera mecanica la septima parte de la circunferencia.
Especial atención le van a merecer las espirales relacionadas con la sucesión de Fibonacci y con el número áureo. No se trata de una espiral de Arquímedes ni de una espiral logarítmica pues ninguna de las dos puede construirse con regla y compás, sin embargo se aproxima bastante a esta última.
Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, el cociente entre su lado mayor y su lado menor es precisamente el número de oro.
Son los únicos que tienen esta curiosa propiedad: si cortamos un cuadrado cuyo lado sea el lado corto del rectángulo obtenemos un rectángulo semejante al original, es decir tiene las mismas proporciones.
O expresado al revés, si a un rectángulo áureo le añadimos sobre su lado mayor, un cuadrado obtenemos otro rectángulo áureo. Una buena aproximación a esta sucesión de rectángulos áureos es la obtenida a través de los rectángulos cuyos lados son los términos de la sucesión de Fibonacci.
Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, el cociente entre su lado mayor y su lado menor es precisamente el número de oro.
Son los únicos que tienen esta curiosa propiedad: si cortamos un cuadrado cuyo lado sea el lado corto del rectángulo obtenemos un rectángulo semejante al original, es decir tiene las mismas proporciones.
O expresado al revés, si a un rectángulo áureo le añadimos sobre su lado mayor, un cuadrado obtenemos otro rectángulo áureo. Una buena aproximación a esta sucesión de rectángulos áureos es la obtenida a través de los rectángulos cuyos lados son los términos de la sucesión de Fibonacci.
Una vez construida esta sucesión de rectángulos áureos encajados si unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado, obtenemos una curva muy similar a una espiral logarítmica, es la famosa Espiral de Durero.
A continuación presentamos un ejemplo de la espiral de Durero en el arte:
La composición de un cuadro tienen muy en cuenta la ordenación de los elementos en un todo unitario. El concepto de simetría es uno de los aspectos a valorar. En un primer lugar, el pintor ordena los elementos en función de un eje y los distribuye de manera ordenada a su derecha e izquierda. Un tipo de composición es la simetría radial, esta se puede utilizar para crear las composiciones multisimetricas que tienen un centro visual fuerte del interés y de un alto grado de energía óptica.
Por ejemplo, Diego de Silva Velázquez (1599-1660), pintor español, máximo representante de la pintura barroca en su país. Creó la obras maestra "Las Meninas" (1656). Representa a la infanta Margarita, rodeada de dos meninas o damas de honor, de pie junto al pintor, quien mira hacia el espectador desde la parte izquierda del cuadro. Velázquez aparece pintando al rey Felipe IV y a la reina doña Mariana, cuya presencia sólo queda sugerida por el reflejo de sus efigies en el espejo situado al fondo de la habitación.
En este caso de composición, el espiral nace en el centro del pecho de la Infanta Margarita de Austria, es decir; en su propio esternón. Las propiedades consolidadas del espiral, y su crecimiento proporcional sobre la superficie de Las Meninas, es consecuencia de la disponibilidad natural de la Geometría y algo más que nos remite a un amplio significado: "Simbólicamente, este punto medio y anatómico del cuerpo de la Infanta Margarita de Austria, marca el centro reservado de los elegidos, en todos los casos, una imagen o identidad exclusiva de la verdadera semilla de los reyes del mundo, tal y como en la tradición europea el Emperador se situaba, siempre, en el lugar central en las ceremonias".
Nos consuela pensar que si bien esta increible espiral no se ajusta de manera tan perfecta a los fenómenos naturales de desarrollo de numerosos seres vivos, tanto animales como vegetales, como sus numerosos defensores a lo largo de la historia han pretendido, al menos ha proporcionado auténticas maravillas artísticas desde Durero hasta nuestros días.
Fuente: http://simetria.dim.uchile.cl/estetico/nodo5.html
Fuente: http://simetria.dim.uchile.cl/estetico/nodo5.html
La serie Fibonacci:
La serie Fibonacci, cuyos primeros términos son:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 .....
(1+sqrt(5))/2 = 1.61803396316671
Esto es cierto ademas para todas las series que cumplan: an = an-1 + an-2, aunque los dos primeros terminos difieran de los que tomo Fibonacci.
1,1,2,3,5,8
La secuencia por demas esta clara pero vamos a analizarla, si se fijan el primer numero es 1, seguido de otro 1, el siguiente numero es 2 seguido de un 3, esta secuencia sale de la suma del anterior.
Empezamos por el primer 1
luego tenemos:
0 + 1 = 1 (1,1)
1+1 = 2 (1,1,2)
2+1 = 3 (1,1,2,3)
3+2 = 5 (1,1,2,3,5)
5+3 = 8 (1,1,2,3,5,8)
8+5 = 13 (1,1,2,3,5,8,13)
13+8 = 21 (1,1,2,3,5,8,13,21)
Ahora el numero dorado lo conseguimos de la siguiente manera:
1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.6666666
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 = 1.615384615
34/21 = 1.619047619
55/34 = 1.617647059
89/55 = 1.618181818
144/89 = 1.61797752
Si continuamos con la secuencia llegamos al numero dorado = 1.61803396316671
Los numeros de la serie de Fibonacci aparecen en los lugares mas insospechados. Por ejemplo, en los girasoles las semillas se ordenan formando espirales, unas giran hacia la izquierda y otras hacia la derecha, si se cuentan las que hay en cada uno de los sentidos se puede comprobar que son numeros consecutivos de la serie Fibinacci.
Tambien se puede observar esta secuencia en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes, y en muchas otras formas de la naturaleza.
Fibonnaci y la modernidad:
Consecuencias:
- Relacion humano naturaleza .- La naturaleza es mercancia.
Ahora el hombre ya no ve a la naturaleza como divina, mas bien entre mas posea de ella significara mayor poder economico.
- Capitalismo .- Base del sistema capitalista.
Nace el capitalismo, ahora el hombre puede obtener objetos cualquier cosa (naturaleza, animales, , comida, mercancias, etc), dando dinero a cambio por los objetos.
- Colonialismo .- Nuevas mercancias o fuentes de extracción.
Se empiezan a crear nuevas formas de extraer cosas de la naturaleza, con el fin de proporsionar nuevas mercancias y obtener mayores beneficios economicos.
Caracteristicas:
- Racionalismo.- Valor a los avances tecnologicos.
Ahora se valoran mas los avances tecnologicos, esto porque por medio de ellos pueden obtener nuevas formas de extraccion y beneficios economicos.
- Pensamiento ecumenico.- Los pueblos barbaros dejan de invadir y empieza el comercio pacifico.
Ya no pelean entre pueblos, puesto que ya no era necesario en ese entonces, lo que hacen es empezar a intercambiar mercancias, lo cual resultaba mas facil que ir a la batalla para opropiarse de mercancias.
Como se puede observar a lo largo del documento Leonardo de Pisa (Fibonacci) es uno de los personajes claves en el renacimiento Italiano, tanto por su obra del libro del abaco que da origen a las escuelas del abaco, como por su suseción de numeros que permiten a grandes maestros del arte como Durero crear obras de arte, y todo ello en conjunto nos da paso hacia la modernidad.
Saludos :1.
